Rabu, 04 November 2009

GAYA GESEKAN

GAYA GESEKAN

Gaya gesek adalah gaya yang berarah melawan gerak benda atau arah kecenderungan benda akan bergerak. Gaya gesek muncul apabila dua buah benda bersentuhan. Benda-benda yang dimaksud di sini tidak harus berbentuk padat, melainkan dapat pula berbentuk cair, ataupun gas. Gaya gesek antara dua buah benda padat misalnya adalah gaya gesek statis dan kinetis, sedangkan gaya antara benda padat dan cairan serta gas adalah gaya Stokes.

1.

Gaya Gesekan di Bidang Datar

Dalam bahasan ini Anda akan dijelaskan penurunan persamaan gaya gesekan yang terjadi di bidang datar. Persamaan tersebut hanya sebatas kualitatif saja, sebab analisa kuantitatif terhadap persoalan gaya gesek di bidang datar akan dijelaskan dalam kegiatan belajar 3. Perhatikan sebuah benda (balok) yang terletak di atas lantai datar berikut ini.



Pada balok bekerja beberapa komponen gaya yang dapat Anda uraikan seperti gambar di bawah ini. Anggap balok didorong oleh gaya F ke kanan.

Bila benda belum bergerak (diam), maka pada benda berlaku hukum I Newton, perhatikan persamaan berikut ini: , Anda dapat uraikan gaya tersebut dalam arah sumbu x dan sumbu y, sehingga menjadi:

pada sumbu x


F - f = 0

Pada sumbu y


N = m.g

Untuk benda yang bergerak, berlaku hukum II Newton. Sehingga persamaan di atas tidak berlaku untuk benda yang bergerak. Penurunan persamaannya dapat dirumuskan sebagai berikut:
Pada sumbu x

F - f = ma, pindah ke ruas kanan dan ma ke ruas kiri, maka F - ma = f atau

f = F - ma

Pada sumbu y

N - W = 0
N = W

N = mg
Keterangan :

f = gaya gesek (N)
F = gaya dorong (N)
N = gaya normal (N)
W = gaya berat (N)
a = percepatan benda (m/s2)
m = massa benda (kg)

2. Gaya Gesekan di Bidang Miring

Secara kualitatif persamaan gaya gesekan pada bidang miring dapat diuraikan sebagai berikut.
Perhatikan gambar di bawah ini!


Ada dua kemungkinan gerak yang dialami balok di bidang miring tersebut, yaitu: pertama, balok meluncur turun ke bawah dan kedua, balok naik ke atas jika terdapat gaya dorong F yang mendorong balok naik ke atas.
Sekarang marilah kita bahas dua kemungkinan tersebut.

2.1 Balok Turun ke Bawah

Persamaan gaya yang bekerja pada balok yang turun ke bawah di bidang miring dapat Anda uraikan sebagai berikut.

Perhatikan penguraian gaya-gaya yang bekerja pada balok di bawah ini!


Untuk benda yang bergerak turun, maka pada benda berlaku hukum II Newton. Perhatikan persamaan di bawah ini.
Pada sumbu x

Pada sumbu y :

GLBB DIPERCEPAT

a. GLBB dipercepat

Adalah GLBB yang kecepatannya makin lama makin cepat, contoh GLBB dipercepat adalah gerak buah jatuh dari pohonnya.

Grafik hubungan antara v terhadap t pada GLBB dipercepat adalah

Grafik v - t

Sedangkan Grafik hubungan antara s terhadap t pada GLBB dipercepat

Grafik s - t

b. GLBB diperlambat

Adalah GLBB yang kecepatannya makin lama makin kecil (lambat). Contoh GLBB diperlambat adalah gerak benda dilempar keatas.

Grafik hubungan antara v terhadap t pada GLBB diperlambat

Grafik v -t GLBB diperlambat

Grafik hubungan antara s terhadap t pada GLBB diperlambat

Grafik s - t diperlambat

GERAK ROTASI

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap, misalnya perputaran gasing dan perputaran bumi pada poros/sumbunya. Untuk bumi, rotasi ini terjadi pada garis/poros/sumbu utara-selatan (garis tegak dan sedikit miring ke kanan). Jadi garis utara-selatan bumi tidak berimpit dengan sumbu rotasi bumi, seperti yang terlihat pada "globe bola dunia" yang digunakan dalam pelajaran ilmu bumi/geografi. Kecepatan putaran ini diukur oleh banyaknya putaran per satuan waktu. Misalnya bumi kita berputar 1 putaran per 24 jam. Untuk rotasi mesin yang berputar lebih cepat dari rotasi bumi, kita pakai satuan rotasi per menit (rpm).

Akibat dari gerak rotasi ini, maka benda tersebut akan mengalami gaya sentrifugal, yaitu jenis gaya dalam ilmu fisika yang mengakibatkan benda akan terlempar keluar. Hal ini akan nampak terasa pada saat kita naik mobil yang melewati tikungan melingkar. Pada saat mobil ini bergerak melingkar dengan kecepatan agak tinggi, maka penumpang dalam mobil akan merasa terlempar ke samping (ke sisi luar lingkaran itu) sebagai akibat dari adanya gaya sentrifugal.

Dalam peredaranya mengelilingi matahari, bumi pun berputar pada porosnya atau sumbunya. Perputaran bumi pada sumbunya disebut rotasi bumi. Bumi berotasi pada porosnya dari arah barat ke timur. Arahnya persis sama dengan arah revolusi bumi mengelilingi matahari .

Kala rotasi bumi adalah 23 jam 56 menit 4 detik ,selang waktu ini disebut satu hari. Sekali berotasi, bumi menempuh 3600 bujur selama 24 jam. Artinya 10 bujur menempuh 4 menit. Dengan demikian, tempat-tempat yang berbeda 10 bujur akan berbeda waktu 4 menit. Rotasi bumi menimbulkan beberapa peristiwa yaitu :

  1. Pergantian siang dan malam
  2. Perbedaan waktu berbagai tempat dimuka bumi
  3. Gerak semu harian bintang
  4. Perbedaan percepatan gravitasi di permukaan bumi
  1. Pergantian siang dan malam




    Permukaan bumi yang sedang menghadap matahari mengalami siang. Sebaliknya permukaan bumi yang membelakangi matahari mengalami malam. Akibat rotasi bumi, permukaan bumi yang menghadap dan membelakangi matahari berganti secara bergantian. Ini adalah peristiwa siang dan malam. Karena periode peredaran semu harian matahari 24 jam, maka panjang siang atau malam rata-rata 12 jam. Panjang periode siang atau malam hari di khatulistiwa hampir sama sepanjang tahun, yaitu berlangsung selama 12 jam. Kadang-kadang ada perbedaan sedikit yaitu panjang siang tidak sama dengan panjang malam. Suatu waktu panjang siang lebih besar dari 12 jam, dan ini berarti panjang malam hari kurang dari 12 jam. Perbadaan ini menjadi lebih besar untuk tempat-tempat yang jauh dari khatulistiwa (misalnya di daerah lintang dan kutub).

  2. Perbedaan waktu berbagai tempat dimuka bumi

    Seluruh permukaan bumi dibagi-bagi menurut jaring-jaring derajat. Jaring-jaring derajat itu dinamakan garis lintang dan garis bujur. Garis lintang adalah garis yang sejajar dengan garis tengah khatulistiwa,sedang garis bujur adalah garis yang sejajar dengan garis tengah kutub. Arah rotasi bumi sama dengan arah revolusinya, yakni dari barat ke timur. Itulah sebabnya matahari selalu terbit di timur terbenam di barat. Orang-orang yang berada di daerah timur akan mengamati matahari terbit dan matahari terbenam lebih cepat dari pada daerah yang berada di sebelah barat. Wilayah yang berada pada sudut 15 0 lebih ke timur akan mengamati matahari terbit lebih cepat satu jam.

    Namun, ada waktu yang berlaku secara international yang disebut waktu GMT (Greenwich Mean Time ) sebagai waktu pangkal yang berada pada garis bujur nol derajat yang melalui kota Greenwich di London. Sebagai contoh Indonesia memiliki tiga bujur standar yaitu 1050, 1200, 1350 Bujur Timur, dengan demikian waktu lokalnya berturut-turut adalah waktu Greenwich ditambah 7 jam, 8 jam, dan 9 jam. Jika letak bujur standar itu disebelah barat bujur nol, maka waktunya dikurangi, dan jika letak bujur standar itu di sebelah timur bujur nol, maka waktunya bertambah.

  3. Gerak semu harian bintang

    Bintang-bintang (termasuk matahari) yang tampak bergerak sebenarnya tidak bergerak. Akibat rotasi bumi dari arah barat ke timur, bintang-bintang tersebut tampak bergerak dari timur ke barat. Rotasi bumi tidak dapat kita saksikan, yang dapat kita saksikan adalah peredaran matahari dan benda-benda langit melintas dari timur ke barat. Oleh karena itu kita selalu menyaksikan matahari terbit disebelah timur dan terbenam di sebelah barat. Pergerakan dari timur ke barat yang tampak pada matahari dan benda-benda langit ini dinamakan gerak semu harian bintang. Karena gerak semu ini dapat di amati setiap hari, maka disebut gerak semu harian.

    Waktu yang diperlukan bintang untuk menempuh lintasan peredaran semunya adalah 23 jam 56 menit atau satu hari bintang. Periode peredaran semu harian matahati dan bulan tidak 23 jam 56 menit. Satu hari matahari tepat 24 jam sedang satu hari bulan lebih lambat lagi yaitu 24 jam 50 menit, hal ini disebabkan karena kedudukan bintang sejati di langit selalu tetap. Matahari memiliki periode semu harian yang berbeda akibat revolusi, sedangkan bulan sebagai satelit bumi memiliki peredaran bulanan mengitari bumi.

  4. Perbedaan percepatan gravitasi di permukaan bumi

    Rotasi bumi juga menyebabkan penggembungan di khatulistiwa dan pemapatan di kedua kutub bumi. Selama bumi mengalami pembekuan dari gas menjadi cair kemudian menjadi padat, Bumi berotasi terus pada porosnya. Ini menyebabkan menggebungan di khatulistiwa dan pemepatan di kedua kutub bumi sehingga seperti keadaannya sekarang. Karena percepatan gravitasi benbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari, maka percepatan gravitasi tempat-tempat di kutub lebih besar daripada disekitar khatulistiwa.

GERAK TRANSLASI

HUBUNGAN GERAK TRANSLASI DENGAN GERAK ROTASI
Gerakan Rotasi
Gerak Rotasi
Hubungannya
Pergeseran Linier
S
Pergeseran Sudut
q
S = q . R
Kecepatan Linier
v = ds/dt
Kecepatan Sudut
w = dq/dt
v = w . R
Percepatan Linier
a = dv/dt
Percepatan Sudut
a = dw/dt
a = a . R
Gaya
F = m.a
Momen Gaya (Torsi)
t = I a
t = F . R
Energi Kinetik
Ek = ½ m v2
Energi Kinetik
Ek = ½ I w2
-
Daya
P = F.v
Daya
P = t w
-
Momentum Linier
P = m.v
Momentum Sudut
L = P R
L = P R
Usaha
W = F.s
Usaha
W = t q
-

keterangan yg perlu diperhatikan

W= usaha

w= kecepatan sudut

w2= maksudnya dikuadratkan

VEKTOR POSISI

vektor posisi dapat dituliskan sebagai jumlah dari vektor-vektor basis tersebut.

contoh penulisan vektor posisi:
S = 2x +3y + 4z (S, x, y, z adalah vektor)
atau bisa juga hanya ditulis (2,3,4)
bentuk ini memiliki aturan urut yaitu (x,y,z)

setiap masalah dapat diselesaikan dengan sistem koordinat manapun tapi ada beberapa masalah yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat yang pas.

sebagai contoh tidak mungkin kita menunjukkan posisi kota jakarta di Bola Dunia (Globe) dengan menggunakan koordinat Cartessian karena vektor posisinya akan sulit dinyatakan. koordinat yang pas untuk masalah tersebut adalah koordinat Bola dengan format (r,theta,pi)


1. Gerakan Partikel dalam bidang XY dinyatakan oleh X=10+12t-20t2 dan Y=25+15t+30t2. XY dalam meter dan t dalam detik.ditanyakan:
a. Hitung nilai dari Xo Yo Vox dan Voy
b. Hitung besar dan arah kecepatan awal Vo
c. Hitung Aox dan Aoy

A:
Xo adalah posisi X saat benda mulai bergerak atau t = 0
Yo adalah posisi Y saat benda mulai bergerak atau t = 0
silakan dihitung, X dan Y saat t = 0

V adalah kecepatan benda yang merupakan turunan pertama dari posisi.
Jadi Vx adalah turunan pertama dari X dan Vy adalah turunan pertama dari Y.
Silakan kamu turunkan (diferensialkan) persamaan tersebut...
Vox adalah Vx saat t = 0, dan Voy adalah Vy saat t = 0.

Vo adalah penjumlahan (secara vektor) dari Vox dan Voy.

Ax adalah turunan kedua dari X, dan Ay adalah turunan kedua dari Y.
Coba kamu turunkan sendiri....
Aox adalah Ax saat t = 0, dan Aoy adalah Ay saat t = 0.

Selasa, 03 November 2009

KOORDINAT POLAR

Koordinat Polar
Koordinat Polar prinsipnya juga sama seperti koordinat kartesius yaitu bertujuan untuk menentukan posisi suatu titik. Namun pada polar koordinat penentuan titik tersebut di dasarkan pada suatu komponen jarak dan sudut. Jarak dan sudut pengukuran di buat relatif terhadap titik asal. Dalam ilustrasi gambar di samping, diperlihatkan metode penulisan koordinat polar. 66.2<60 dimana angka pertama merupakan jarak (dalam satuan unit) dan yang kedua adalah sudut. Dalam autocad, untuk nilai sudut positif akan berlawanan arah jarum jam (lihat warna hijau), dan untuk nilai sudut negatif akan searah jarum jam (warna merah).

KOORDINAT CARTECIUS

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Langsung ke: navigasi, cari
Gambar 1 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik asal, yang berwarna ungu.

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).

Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan, dengan mengggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Lihat koordinat (matematika) untuk sistem-sistem koordinat lain seperti sistem koordinat polar.

Sistem koordinat dua dimensi

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, dimana huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedngakan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).

Kuadran nilai x nilai y
I > 0 > 0
II <> > 0
III <> <>
IV > 0 <>

GERAK LURUS BERATURAN

  • menjelaskan karakterisktik gerak lurus beraturan (GLB) melalui percobaan dan pengukuran besaran-besaranterkait
  • menerapkan besaran-besaran fisika dalam gerak lurus beraturan (GLB) dalam bentuk persamaan dan menggunakannyadalam pemecahan masalah sehari-hari.

Kemampuan Prasyarat :

Sebelum mempelajari materi gerak lurus beraturan (GLB) anda harus sudah menguasai konsep tentang :

  • pengertian gerak lurus
  • besaran-besaran yang berkaitan dengan gerak lurus
  • konversi satuan dari besaran-besaran yang berkaitan dengan gerak lurus

Pengertian Gerak Lurus Beraturan

Gerak lurus beraturan didefinisikan sebagai gerak suatu benda dengan kecepatan tetap.

Kecepatan tetap artinya baik besar maupun arahnya tetap. Kecepatan tetap yaitu benda menempuh

jarak yang sama untuk selang waktu yang sama. Misalnya sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 75 km/jsm atau 1,25

km/menit, berarti setiap menit mobil itu menempuh jarak 1,25 km. Karena kecepatan benda tetap, maka kata kecepatan pada

gerak lurus beraturan dapat diganti dengan kata kelajuan. Dengan demikian, dapat juga kita definisikan, gerak lurus

beraturan sebagai gerak suatu benda pada lintasan lurus dengan kelajuan tetap.

Grafik perpindahan terhadap waktu (s-t) pada

GLB

Grafik perpindahan terhadap waktu pada GLB ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Tampak pada

gambar bahwa grafik jarak/perpindahan (s) terhadap waktu (t) berbentuk garis lurus miring ke atas melalui titik asal

koordinat O (0,0). Apabila ditinjau dari kemiringan grafik, maka tan α = v

Dengan demikian jika grafik jarak terhadap waktu (s-t) dari dua benda yang bergerak beraturan

berbeda kemiringannya, maka grafik dengan sudut kemiringan besar menunjukkan kecepatan lebih besar.

Grafik Kecepatan terhadap Waktu (v-t) pada

GLB

Grafik kecepatan terhadap waktu pada GLB ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Tampak pada gambar bahwa grafik v-t berbentuk garis lurus mendatar. Bentuk ini menunjukkan bahwa pada GLB, kecepatan suatu benda selalu tetap untuk selang waktu kapanpun.

Hubungan jarak, kecepatan, dan selang waktu pada GLB

Pada gerak lurus beraturan kecepatan suatu benda selalu tetap. Jika diperhatikan kembali grafik v-t pada GLB, maka jarak/perpindahan (s) merupakan luas daerah yang dibatasi oleh v dan t.

Pada gambar di bawah ini tampak bahwa jarak/perpindahan sama dengan luas persegipanjang dengan panjang t dan lebar v.

size-medium wp-image-73" title="s-glb1" src="http://sidikpurnomo.net/wp-content/uploads/2008/09/s-glb1.jpg" alt="" height="187" width="329">

Secara matematis : s = v. t

Dibawah ini adalah animasi grafik kecepatan konstan dalam format flash. Untuk menjalankannya komputer anda harus memiliki FlashPlayer.

Contoh Soal Untuk memahami konsep gerak lurus beraturan :

Dua sepeda motor bergerak saling mendekati pada lintasan lurus dengan arah berlawanan. Sepeda

motor A bergerak ke barat dengan kecepatan tetap 30 km/jam, sedangkan sepeda motor B bergerak ke timur dengan kecepatan 45

km/jam. Sebelum bergerak, kedua sepeda motor terpisah sejauh 150 km.

(a). kapan dan dimana kedua sepeda motor berpapasan? (b). gambarkan grafik hubungan v-t

untuk kedua sepeda motor itu? (c). tentukan jarak tempuh kedua sepeda motor saat berpapasan menggunakan grafik v-t

tersebut.

Pembahasan :

size-medium wp-image-80" title="gbr-glb1" src="http://sidikpurnomo.net/wp-content/uploads/2008/09/gbr-glb1-300x118.jpg" alt="">

(a). Misalkan kedua sepeda motor berpapasan di titik O.

size-medium wp-image-83" title="ao2" src="http://sidikpurnomo.net/wp-content/uploads/2008/09/ao2.jpg" alt="" width="67">

size-medium wp-image-84" title="bo" src="http://sidikpurnomo.net/wp-content/uploads/2008/09/bo.jpg" alt="" width="68">

dari gambar di atas diperoleh AO + BO = 150 km atau 150 km = 30km/jam.t + 45km/jam.t, sehingga diperoleh

t = 150 km/75 km/jam = 2 jam.

Jadi AO = 30 km/jam.2 jam = 60 km, sedangkan BO = 45 km/jam.2 jam=90 km

Kesimpulan, kedua sepeda motor berpapasan setelah bergerak selama 2 jam. Tempat

berpapasan adalah setelah sepeda motor A bergerak ke arah barat sejah 60 km atau setelah sepeda motor B bergerak ke arah

timur sejauh 90 km.

(b). Grarik v-t untuk kedua sepeda motor

(c). Jarak tempuh sepeda motor A = luas bangun A = panjang X lebar = 2 jam X 30 km/Jam = 60 km

Jarak tempuh sepeda motor B = luas bangun B = panjang X lebar = 2 jam X 45 km/jam = 90 km

Anda dapat melakukan praktek ticker timer pada link ini.Praktek Ticker Timer

GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN

Besaran gerak melingkar

Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah \theta\!, \omega\! dan \alpha\! atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan berturut-turut dengan r\!, v\! dan a\!.

Besaran gerak lurus dan melingkar
Gerak lurus Gerak melingkar
Besaran Satuan (SI) Besaran Satuan (SI)
poisisi r\! m sudut \theta\! rad
kecepatan v\! m/s kecepatan sudut \omega\! rad/s
percepatan a\! m/s2 percepatan sudut \alpha\! rad/s2
- - perioda T\! s
- - radius R\! m

Turunan dan integral

Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan diferensiasi.

\int \omega\ dt = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \omega = \frac{d\theta}{dt}
\int \alpha\ dt = \omega \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d\omega}{dt}
\int \int \alpha\ dt^2 = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}

Hubungan antar besaran sudut dan tangensial

Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui R\! khusus untuk komponen tangensial, yaitu

\theta = \frac{r_T}{R}\ \ , \ \ \omega = \frac{v_T}{R}\ \ , \ \ \alpha = \frac{a_T}{R}

Perhatikan bahwa di sini digunakan r_T\! yang didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu

r_T \approx |\overrightarrow{r}(t+\Delta t)-\overrightarrow{r}(t)|\!

untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.

Jenis gerak melingkar

Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman kecepatan sudutnya \omega\!, yaitu:

  • gerak melingkar beraturan, dan
  • gerak melingkar berubah beraturan.

Gerak melingkar beraturan

Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar kecepatan sudut \omega\! tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi kecepatan tangensial v_T\! dengan jari-jari lintasan R\!

\omega = \frac {v_T} R

Arah kecepatan linier v\! dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial v_T\!. Tetapnya nilai kecepatan v_T\! akibat konsekuensi dar tetapnya nilai \omega\!. Selain itu terdapat pula percepatan radial a_R\! yang besarnya tetap dengan arah yang berubah. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu menunjuk ke pusat lingkaran.

a_R = \frac {v^2} R = \frac {v_T^2} R

Bila T\! adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran penuh dalam lintasan lingkaran \theta = 2\pi R\!, maka dapat pula dituliskan

v_T = \frac {2\pi R} T \!

Kinematika gerak melingkar beraturan adalah

\theta(t) = \theta_0 + \omega\ t

dengan \theta(t)\! adalah sudut yang dilalui pada suatu saat t\!, \theta_0\! adalah sudut mula-mula dan \omega\! adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya).

[sunting] Gerak melingkar berubah beraturan

Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut \alpha\! tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial a_T\! (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial v_T\!).

\alpha = \frac {a_T} R

Kinematika GMBB adalah

\omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!
\theta(t) = \theta_0 + \omega_0\ t  + \frac12 \alpha\ t^2 \!
\omega^2(t) = \omega_0^2 + 2 \alpha\ (\theta(t) - \theta_0) \!

dengan \alpha\! adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan \omega_0\! adalah kecepatan sudut mula-mula.

Persamaan parametrik

Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan terlebih dahulu mendefinisikan:

  • titik awal gerakan dilakukan (x_0,y_0)\!
  • kecepatan sudut putaran \omega\! (yang berarti suatu GMB)
  • pusat lingkaran (x_c,y_c)\!

untuk kemudian dibuat persamaannya [2].

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan R\! yang diperoleh melalui:

R = \sqrt{(x_0 - x_c)^2 + (y_0 - y_c)^2} \!

Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan, yaitu

x(t) = x_c + R cos(\omega t + \phi_x) \!
y(t) = y_c + R sin(\omega t + \phi_y) \!

dengan dua konstanta \phi_x \! dan \phi_y \! yang masih harus ditentukan nilainya. Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai (x_0,y_0)\!, maka dapat ditentukan nilai \phi_x \! dan \phi_y \!:

\phi_x = \arccos \left( \frac{x_0 - x_c}{R} \right)\!
\phi_y = \arcsin \left( \frac{y_0 - y_c}{R} \right)\!

Perlu diketahui bahwa sebenarnya

\phi_x = \phi_y \!

karena merupakan sudut awal gerak melingkar.

Hubungan antar besaran linier dan angular

Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan angular dapat dengan mudah diturunkan.

Kecepatan tangensial dan kecepatan sudut

Kecepatan linier total dapat diperoleh melalui

v  = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

v_T  = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

dengan

v_x  = \dot{x} = \frac{dx}{dt}
v_y  = \dot{y} = \frac{dy}{dt}

diperoleh

v_x  = -\omega R \sin(\omega t + \phi_x) \!
v_y  = \omega R \cos(\omega t + \phi_x) \!

sehingga

v_T  = \sqrt{(-\omega)^2 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x) + \omega^2 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
v_T  = \omega R \sqrt{\sin^2(\omega t + \phi_x) + \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
v_T  = \omega R\!

Percepatan tangensial dan kecepatan sudut

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, percepatan linier total dapat diperoleh melalui

a  = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

a_T  = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

dengan

a_x  = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}
a_y  = \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}

diperoleh

a_x  = -\omega^2 R \cos(\omega t + \phi_x) \!
a_y  = -\omega^2 R \sin(\omega t + \phi_x) \!

sehingga

a_T  = \sqrt{(-\omega)^4 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x) + \omega^4 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
a_T  = \omega^2 R \sqrt{\cos^2(\omega t + \phi_x) + \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
a_T  = \omega^2 R\!

Kecepatan sudut tidak tetap

Persamaan parametric dapat pula digunakan apabila gerak melingkar merupakan GMBB, atau bukan lagi GMB dengan terdapatnya kecepatan sudut yang berubah beraturan (atau adanya percepatan sudut). Langkah-langkah yang sama dapat dilakukan, akan tetapi perlu diingat bahwa

\omega \rightarrow \omega(t) = \int \alpha dt = \omega_0 + \alpha t \!

dengan \alpha\! percepatan sudut dan \omega_0\! kecepatan sudut mula-mula. Penurunan GMBB ini akan menjadi sedikit lebih rumit dibandingkan pada kasus GMB di atas.

Persamaan parametrik di atas, dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu:

x(t) = x_c + R \cos \theta \!
y(t) = y_c + R \sin \theta \!

di mana \theta = \theta(t) \! adalah sudut yang dilampaui dalam suatu kurun waktu. Seperti telah disebutkan di atas mengenai hubungan antara \theta \!, \omega \! dan \alpha \! melalui proses integrasi dan diferensiasi, maka dalam kasus GMBB hubungan-hubungan tersebut mutlak diperlukan.

[sunting] Kecepatan sudut

Dengan menggunakan aturan rantai dalam melakukan diferensiasi posisi dari persamaan parametrik terhadap waktu diperoleh

v_x(t) = - R \sin \theta\ \frac{d\theta}{dt} =  - \omega(t) R \sin \theta \!
v_y(t) = R \cos \theta \ \frac{d\theta}{dt} = \omega(t) R \cos \theta \!

dengan

\frac{d\theta}{dt} = \omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!

Dapat dibuktikan bahwa

v(t) = v_T(t) = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)} = \omega(t) R \!

sama dengan kasus pada GMB.

Percepatan total

Diferensiasi lebih lanjut terhadap waktu pada kecepatan linier memberikan

a_x(t) = - R \cos \theta \ \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2  - R \sin \theta \frac{d^2\theta}{dt^2} \!
a_x(t) = - R \sin \theta \ \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2  + R \cos\theta \frac{d^2\theta}{dt^2} \!

yang dapat disederhanakan menjadi

a_x(t) = - \omega^2 R \cos \theta  - \alpha R \sin \theta \!
a_x(t) = - \omega^2 R \sin \theta  + \alpha R \cos \theta \!

Selanjutnya

a^2(t) = a_x^2(t) + a_y^2(t) = R^2\left(\omega^4(t) + \alpha^2 \right) \!

yang umumnya dituliskan [3]

a^2(t) = a_R^2(t) + a_T^2(t) \!

dengan

a_T = \alpha R \!

yang merupakan percepatan sudut, dan

a_R = \omega^2 R = a_S \!

yang merupakan percepatan sentripetal. Suku sentripetal ini muncul karena benda harus dibelokkan atau kecepatannya harus diubah sehingga bergerak mengikuti lintasan lingkaran.

Gerak berubah beraturan

Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.

Gerak berubah beraturan
Kecepatan GLBB GMB
Besar berubah tetap
Arah tetap berubah